Paradoja de Zenon

¿Quién fue Zenón de Elea?

Zenón de Elea no elaboró una doctrina propia, sino que se limitó a defender la de su maestro Parménides con razonamientos que, según dijo Aristóteles en su Física, "producen dolor de cabeza a quienes intentan resolverlos". De hecho, Zenón fue el inventor indiscutible del razonamiento paradójico. No demostraba directamente la tesis del maestro  pero, de forma más sutil, confutaba las confutaciones; es decir, demostraba que la opinión de sus detractores desembocaba en conclusiones todavía menos aceptables que las suyas. De acuerdo con el principio sentado por su maestro Parménides de que sólo existe el ser, y que éste es uno e inmóvil, Zenón dedicó sus esfuerzos a demostrar la inconsistencia de las nociones de movimiento y pluralidad.



LAS PARADOJAS DE ZENÓN

Uno de los temas de mayor controversia entre los griegos fue el relativo a la relación que existe entre lo discreto y lo continuo.

Los números enteros representan objetos discretos y una razón conmensurable representa una relación entre dos longitudes que admiten una unidad de medida común, de manera que cada una de ellas es una colección discreta de unidades; sin embargo, las longitudes en general no son colecciones discretas de unidades y este es el motivo por el que aparecen las razones de longitudes inconmensurables. En otras palabras, longitudes, áreas, volúmenes, tiempo y otras cantidades son continuas.

Este problema de la relación entre lo discreto y lo continuo fue puesto en evidencia por el más destacado discípulo de Parménides, Zenón de Elea, quien alrededor del año 445 a.C., propuso un cierto número de paradojas; cuatro de ellas tratan del movimiento, y pretendían indicar que el movimiento o el cambio en general es imposible, y en general, que la “realidad» es una entidad singular sin cambios, además, se deseaba refutar a los pitagóricos quienes creían en unidades extensas pero indivisibles (McLaughlin, 1995).

En la época en que vivió Zenón, habían dos concepciones opuestas del espacio y del tiempo.

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  "El espacio y el tiempo son indefinidamente divisibles, en cuyo caso el movimiento resultaría continuo."
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  "El espacio y el tiempo están formados por pequeños intervalos indivisibles, en cuyo caso el movimiento consistiría en una sucesión de minúsculos saltos espasmódicos."

Los argumentos de Zenón  están dirigidos contra ambas teorías y parten de la siguiente hipótesis fundamental:

"El tiempo y el espacio pueden ser cada uno e independientemente el uno del otro, finitamente divisibles o infinitamente divisibles"

De donde resultan entonces cuatro posibilidades:

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  PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA

(Tiempo y espacio infinitamente divisibles.)

“Si el movimiento existe, lo más lento (la tortuga) nunca será alcanzado por lo más rápido (Aquiles), pero como esto es imposible, el movimiento no existe” (McLaughlin, 1995).

En efecto, cualquier distancia que deba ser recorrida por un móvil, por ejemplo la que hay entre Aquiles y la tortuga, puede ir dividiéndose en dos partes y hay tiempo suficiente para recorrer la primera parte; como las dos magnitudes son infinitamente divisibles Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

En otras palabras, Zenón establece que sobre la hipótesis de que el espacio y el tiempo son indefinidamente divisibles el movimiento sería imposible.

Otra famosa paradoja ideada por Zenón es la paradoja de Aquiles. En este caso el guerrero quería alcanzar a una tortuga distante 1 Km.

Cuando Aquiles llega al lugar que ocupaba la tortuga, ésta ha avanzado 10 metros más. Pero cuando Aquiles recorre estos 10 metros, la tortuga ha vuelto a avanzar un poco más.

Tortuga: Nunca podrás cogerme, viejo. ¡Cada vez que llegues al último lugar donde estuve, yo estaré siempre un poco más adelante, aunque sea la mitad de un pelo!.

Zenón sabía, desde luego, que Aquiles podía alcanzar a la tortuga. Lo que hacía era, simplemente, hacer ver las paradógicas consecuencias de imaginar el espacio y el tiempo formados por una sucesión infinita de puntos e instantes individuales consecutivos, como las cuentas de un collar.

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  PARADOJA DE LA DICOTOMÍA 

(Espacio infinitamente divisible y tiempo finitamente divisible).

En este caso se tiene la situación dual de la anterior: Si un móvil parte de un lugar hipotético A en el instante T, como el tiempo es finitamente divisible habrá un instante siguiente T’ en el cual el móvil ocupará un lugar B. Como el espacio es infinitamente divisible existirá un lugar C entre A y B por el cual tuvo que pasar el móvil; pero esto no se dio porque no hubo tiempo para que sucediera. Nuevamente como el movimiento existe no podemos asumir que el espacio es infinitamente divisible y el tiempo finitamente divisible.

El corredor de Zenón razonaba así:

Corredor: Antes de alcanzar la meta habré de pasar por el punto medio. Y después habré de alcanzar la marca de 3/4, que está a la mitad de la distancia restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendré que pasar por otra marca de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamás. ¡Nunca podré alcanzar la meta!

Para poner un ejemplo más concreto del razonamiento de Zenón, supongamos que un corredor de maratón A tenga que recorrer la distancia BC, sometida a un número infinito de subdivisiones, en un tiempo finito; ésta es, evidentemente, una suposición absurda porque ¡no es posible recorrer un espacio compuesto de elementos infinitos en un lapso de tiempo finito! Por consiguiente, el movimiento es imposible, aunque la experiencia común nos diga lo contrario.

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  PARADOJA DE LA FLECHA

(Espacio finitamente divisible y tiempo infinitamente divisible).

Como el espacio es finitamente divisible la flecha en su movimiento ocupará el lugar que sigue en la dirección en que se mueve en un tiempo T. Como el tiempo es infinitamente divisible entonces existirá un tiempo T’ < T, durante el cual la fecha desapareció porque no existía un lugar que pudiera ocupar en ese tiempo. Por lo tanto, como el movimiento existe no podemos asumir que el espacio es finitamente divisible y el tiempo infinitamente indivisible.

El tercer argumento es el de la flecha. La flecha ocupa siempre un espacio determinado y, como tal, está siempre quieta, en cualquier instante. Para poderse mover debería estar el mismo tiempo dentro y fuera de su espacio; pero una suma de estados no da movimiento. Por consiquiente ¡El movimiento es imposible!

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  PARADOJA DEL ESTADIO 

(Tiempo y espacio finitamente divisibles).

Un atleta A se mueve en una carrera en una cierta dirección y otro atleta C se mueve en la misma dirección pero en sentido opuesto y con igual velocidad. Un tercer atleta B que permanece inmóvil describe el movimiento de A y C en la siguiente forma: En el tiempo mínimo T, A y C se desplazaron una distancia mínima D. Ahora bien, A y C describen el movimiento de B de la siguiente forma: B se desplazó en el tiempo mínimo T la distancia mínima D. A no puede entender el movimiento de C y C tampoco puede entender el movimiento de A, en efecto C respecto de A se mueve dos veces la distancia mínima D en el tiempo mínimo T, lo cual es absurdo, porque no hubo tiempo para recorrer la distancia D.

La cuarta y última de las paradojas de Zenón es la paradoja del estadio, y, tal vez, es la más difícil de exponer:

Dos filas de igual numero de soldados (B B B B y C C C C) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por A A A A) a la misma velocidad. Se paran cuando estén alineados. El primer soldado B recorre un espacio igual a dos A, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado C recorre cuatro soldados B.  Dado que los tamaños de A, B y C son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados C es doble que la de los soldados B, y habíamos dicho que la velocidad era la misma.